MISSILE BALISTIQUE

	CONTENU : Mis à jour mars 2002, revu sept 2011 I Résolution géométrique générale II Le tir d'énergie minimum Calcul du temps de vol III Le tir d'énergie minimum en Terre tournante 1°) Calcul de la portée angulaire 2°) Calcul itératif de la cible fictive à viser

Ce chapitre traite du calcul de la trajectoire balistique d'un engin tiré d'un point A pour atteindre un point B, compte tenu de la rotation terrestre.

La présentation est réalisée en 3 temps:

Cas du tir d'énergie minimale en Terre immobile.

Tir d'énergie minimale compte tenu de la rotation terrestre

Tir quelconque, avec ou sans rotation terrestre

Connaissant les coordonnées géographiques ( rayon vecteur, latitude, longitude ) des points A et B, le problème consiste à déterminer les conditions de tir, d'un missile lancé en A ( R₁, l₁, L₁ ) pour atteindre B ( R₂, l₂, L₂ ), avec une vitesse de tir minimum.

I RESOLUTION GEOMETRIQUE GENERALE POUR UN TIR QUELCONQUE:

En Terre fixe, nous commençons par résoudre le problème géométriquement, dans le plan de tir qui ne peut être que OAB, avec des données simples: R1 = OA, R2 = OB et a la portée angulaire vue du centre de la Terre O.

Nous recherchons une ellipse de foyer O, de second foyer F à déterminer, donc de demi-grand axe a inconnu joignant A à B.

La définition bifocale d'une ellipse permet d'écrire les relations :

AF+AO = BF+BO = 2a ou encore AF+R1 = BF + R2 = 2a

Nous en tirons FA - FB = BO - AO = R2 - R1 = Cste, cette relation montre que F appartient à une branche d'hyperbole(courbe bleue), de foyers A et B, de grand axe 2a_h = |R2 - R1|. Le lecteur curieux montrera que cette hyperbole passe par le point F* symétrique de O par rapport à la médiatrice de AB(en rose).

REMARQUES :

1 - Si on se fixe une vitesse de tir V en A, on peut en déduire l'énergie du tir, par l'équation de l'énergie :

Mais c'est surtout le demi grand axe a de l'ellipse qui est calculable et intéressant, car 2a = AF + R1 donc FA = 2a - R1, ce qui signifie que F est aussi sur le cercle de centre A de rayon 2a-R1, cercle qui coupe l'hyperbole en général en 2 points.

Nous en déduisons que pour une vitesse de tir donnée, il y a 2 ellipses solutions pour aller de A vers B. C'est classiquement, le TIR MORTIER et le TIR RASANT, résultat bien connu des artilleurs. Nous ne développons pas la géométrie des 2 possibilités.

2- Nous savons que le vecteur vitesse est porté par la tangente à l'ellipse en A, donc par la bissectrice extérieure des rayons vecteurs AO et AF.

II LE TIR D'ENERGIE MINIMUM EN TERRE FIXE:

1°) RESOLUTION GEOMETRIQUE POUR LE TIR D'ENERGIE MINIMALE :

a) Solution du problème : Venons en au problème du tir d'énergie minimale ou encore de VITESSE DE TIR MINIMALE. En d'autres termes E est minimale et donc a est minimal. Donc FA=2a-R1 doit être minimal, donc il faut rechercher sur l'hyperbole le point F tel que FA soit minimale. Le bon sens donne immédiatement la position de F sur AB, en O1 qui sera le foyer cherché de l'unique ellipse solution, car le tir haut et le tir bas sont confondus.

La figure montre l'ellipse solution en gros trait noir, avec comme foyers O et O₁.

b) Paramètres de tir :

Rayon vecteur du tir : naturellement c'est R₁

Vitesse de tir : Evaluons a de l'ellipse. 2a = AO₁ +AO, or AO₁+ BO₁ = D

La vitesse absolue du tir en A a donc pour module :

Pente de la vitesse de tir :

Le triangle AOB fournit sans difficulté tous ses angles intérieurs, par la relation des sinus. L'angle b est la moitié de l'angle extérieur en A, ce qui donne ensuite la pente g de la vitesse absolue.

Vous savez maintenant grâce aux relations établies dans les mouvements képlériens, calculer toutes les caractéristiques de l'ellipse dans son plan, apogée; périgée, temps de parcours etc...

2°) CAS PARTICULIER A ET B SUR LE SOL TERRESTRE:

C'est le cas présenté classiquement, où l'on suppose que le missile est tiré instantanément de A, pour atteindre B, et ceci en oubliant l'atmosphère.

L'adaptation des calculs précédents donne les caractéristiques de l'ellipse de tir et les conditions du tir d'énergie minimale. R₁ = R₂ = R rayon terrestre.

Remarque : Si A et B sont diamétralement opposés, a = 180° et g = 0° la vitesse V est la première vitesse cosmique et l'ellipse se confond avec le contour de la Terre.

Exemple numérique : MISSILE INTERCONTINENTAL DE 10000 KM DE PORTEE

Alors a = 1.5679 rd, a = 5440.7 km, V=7192 m/s, g = 22°.54

2°) TEMPS DE VOL :

La figure montre clairement que l'angle polaire q vaut 180°-a/2. Nous pouvons donc calculer le temps de vol "fictif" entre le périgée et A, soit :

Le lecteur achèvera le calcul du temps de vol entre A et B

III LE TIR D'ENERGIE MINIMUM EN TERRE TOURNANTE:

Connaissant les coordonnées géographiques ( rayon vecteur, latitude, longitude ) des points A et B, le problème consiste à déterminer les conditions de tir, d'un missile lancé du sol en A ( R, l₁, L₁ ) pour atteindre le sol B ( R, l₂, L₂ ), avec une vitesse de tir minimum.

1°) CALCUL DE LA PORTEE ANGULAIRE :

L'outil adapté à ce calcul est la trigonométrie sphérique.

Le lecteur travaillera sur le triangle sphérique ABC pour établir la portée angulaire

2°) CALCUL ITERATIF AVEC LA ROTATION TERRESTRE:

NB 1 : Dans tous les cas sachant que la portée ne pet dépasser 180°, on supposera que |L₂-L₁|<180°.Si 0< L₂ - L₁<180° Le tir est vers l'Est

Si -180°< L₂ - L₁<0° Le tir est vers l'Ouest

Si L₂ - L₁=0° Le tir est vers est polaire.

NB2 : La Terre tournant autour de l'axe nord-sud, de l'Ouest vers l'Est, la cible B est entraînée dans la rotation terrestre. Donc, dans tous les cas il faudra viser une CIBLE FICTIVE B* qui doit être à l'Ouest de B.

Si T est le temps de vol d'un missile visant B*, déplacant jusqu'en B durant T, lorsque le missile arrive au sol, le point B* doit avoir une longitude L* = L₂ -360°*T/86164.

PROBLEME : On ne connaît pas B* et donc on ne connaît pas T. Comment résoudre la question ?

Il suffit de travailler en itération :

Etape 0 d'initialisation : on vise B, on calcule To temps de vol A à B

Etape 1 : On reprend le problème en visant B* décalé en longitude de 360°*To/86164, on calcule T1

.....................

Etape n : On reprend le problème en visant B* décalé en longitude de 360°*T_n-1/86164, on calcule T_n.

Le processus converge vers la solution, on arrête donc l'itération lorsque par exemple | T_n-1 - T_n|< e à fixer.

ROUTINE PRESENTE SUR LE SITE : MISSILE.EXE téléchargeable avec ce cours, ainsi que le programme source.

3°) PARAMETRES ORBITAUX DE LA TRAJECTOIRE :

Le lecteur désireux de maîtriser la trajectographie du missile vérifiera que les conditions initiales du tir absolu sont :

Le calcul s'achève en utilisation les relations de calcul des vecteurs fondamentaux, ou encore la routine RV_PAR_W.EXE.

REMARQUES : Le lecteur intéressé par le calcul des efforts subis par le missile au cours de la phase finale de rentrée dans l'atmosphère, avant d'atteindre B, pourra consulter le cours sur la rentrée d'Allen.

Si c'est l'aspect propulsif qui l'attire, il pourra consulter les cours sur le lanceur.

Guiziou Robert mars 2002, sept 2011